ما هي الأعداد النسبية في الرياضيات؟ عندما ولدت الأعداد والأعداء ولد علم الرياضيات معها. سعى العلماء للبحث في ذلك ، لمساعدتهم في الهندسة وعلم الفلك والعلوم الأخرى. من أوائل الأرقام التي اكتشفها العلماء كانت الأعداد النسبية ، فما هي الأعداد النسبية في الرياضيات. الأعداد والأرقام هي لغة الرياضيات ، حيث تستخدم للتعبير عن الكميات ، وهي أساس الرياضيات التي تتم على أساسها العمليات الحسابية بشكل يومي ، مثل حساب الأيام أو الأشهر أو السنوات.
ما هي الأعداد المنطقية
هناك اختلافات في الشكل والنطق وطريقة كتابة الأرقام في كل ثقافة ولغة ، تمامًا كما تختلف كل لغة عن اللغات الأخرى وفقًا للثقافة. يوجد أرقام عربية وأرقام هندية:
- تجدر الإشارة إلى الفرق بين الأرقام والأرقام ، وهو أن الأرقام هي الرمز الرياضي ، لكن الأرقام هي اسم أو صفة تصف كمية الأشياء أو ترتيبها.
- ساهم دور العلماء في اكتشاف الأعداد وتطورها بشكل كبير ، وأبرزها العالم المسلم الخوارزمي الذي اكتشف الصفر الذي يمكن للإنسان أن يعد به إلى ما لا نهاية.
- قسّم العلماء الأرقام إلى مجموعات وفقًا لخصائصها ، بما في ذلك مجموعة الأعداد المنطقية ، ومجموعة الأعداد غير المنطقية ، ومجموعة الأعداد الصحيحة ، والأعداد الطبيعية والحقيقية.
- يمكننا تعريف الأعداد المنطقية على أنها الأرقام التي يمكننا كتابتها كرقم أ / ب ، أي يمكن كتابتها كبسط ومقام ، بشرط ألا يكون المقام مساويًا للصفر لأنه إذا كان يساوي صفرًا ، قيمة الكسر ستكون غير معرفة.
- كلمة النسبية مشتقة من النسبة ، مما يعني مقارنة رقمين موجودين في البسط والمقام ، بحيث يتم قسمة عدد صحيح على عدد صحيح.
- وبالتالي ، يسهل علينا تحديد مجموعة الأعداد الصحيحة من مجموعات الأرقام المختلفة الأخرى ، حتى لو كانت هناك إمكانية للاختلاط بين مجموعات الأرقام المختلفة.
- مثل الرقم +7 ، فهو رقم ينتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية ، لأنه عدد صحيح وموجب ، ولكنه ينتمي أيضًا إلى مجموعة الأعداد المنطقية ، حيث إنه يساوي +7/1 ، أي أن مقامه 1.
- لذلك ، فإن جميع الأعداد المنطقية هي أعداد موجبة وسالبة ، وأعداد صحيحة للصفر ، ويمكن كتابتها جميعًا في صورة كسر.
- عندما نكتب العدد المنطقي ، نضع علامة السالب أمام الكسر أو بجوار الرقم في البسط. على سبيل المثال ، الرقم 3/4 له شكله السلبي أو مقلوبه الجمعي هو -3-4 و 3-4 هو خطأ.
- نظرًا لأن هذه هي الصيغة القياسية لكتابة كسر سالب ، فيمكننا كتابة الأعداد العشرية على أنها بسط ومقام أي عدد كأرقام منطقية.
- على سبيل المثال ، الرقم 0.65 ، يمكننا كتابته في الصورة النسبية ، أي 100/65 بمضاعفات المقام 10 وفقًا لعدد الأرقام الموجودة بعد الفاصلة العشرية.
- يمكن أيضًا كتابة الأرقام العشرية المتكررة في شكل أرقام منطقية. على سبيل المثال ، يمكن كتابة الرقم 0.44444 على أنه 1/4 ، لذلك من السهل التعامل مع الأرقام.
أمثلة على الأرقام المنطقية
جميع الأعداد الصحيحة هي أعداد نسبية ، لأنها تتكون من بسط يساوي العدد ومقامًا يساوي دائمًا واحدًا ، لذا فهو غير مكتوب ، وسنشرح ذلك في هذه الأمثلة:
- الرقم 2 هو رقم منطقي يمكن كتابته في صورة 1/5 ولا تتغير قيمته.
- الرقم -15 هو رقم نسبي ، حيث يمكن كتابته كبسط ومقام ، وهو -1/1 ، لكن لا يمكن كتابته -12/0 ، لأن الرقم المنطقي لا يقبل أن المقام هو صفر.
الكسور والأعداد الكسرية
جميع الكسور التي يمكن كتابتها كبسط ومقام أ / ب إذا كان كل من أ وب عدد صحيح وقيمة ب المقام لا يساوي صفر تعتبر أرقامًا منطقية:
- وهي أيضًا أعداد نسبية تستوفي الشروط ، لأن البسط والمقام أعداد صحيحة والمقام لا يساوي صفرًا. هم أيضا أرقام منطقية.
- العدد الكسري 33/6 هو عدد نسبي ، لأن الأعداد -33 و 6 أعداد صحيحة والمقام 33 لا يساوي صفرًا.
- العدد الكسري 8/24 هو رقم نسبي لأن كلا من البسط والمقام فيهما أعداد صحيحة ومقامه لا يساوي صفرًا.
- لكن يجب الانتباه إلى حقيقة أن بعض الكسور والأرقام المختلطة ليست أعدادًا منطقية. على سبيل المثال ، الرقم 122 والصفر ، على الرغم من أن كلاهما عدد صحيح ، لكن 122/0 ليس رقمًا منطقيًا لأن المقام يساوي صفرًا ، لذا فإن قيمة الرقم غير معروفة.
- الكسر 3 / π ليس عددًا نسبيًا على الرغم من أن المقام عدد صحيح ، لكن π لا يمكن اعتباره عددًا نسبيًا.
- يمكن التعبير عن الرقم 1.9 بالصيغة 1.9 / 1 ، لذلك فهو رقم نسبي ، وإذا ضربنا البسط والمقام في الرقم 10 ، نحصل على الرقم 18/10 ، وهو رقم نسبي أيضًا ، لأنه العدد 19 والعدد 10 أعداد صحيحة والعدد 10 في المقام لا يساوي صفرًا.
- الكسر العشري المتكرر … 2.222 يمكننا كتابته في صورة عدد كسري يساوي 1/2 ، وهو رقم نسبي ، ويمكن ضرب المقام والبسط في 20 ليساوي 10/20 ، وهو عدد نسبي لأن البسط والمقام أعداد صحيحة والمقام يساوي 20 لا يساوي صفرًا.
الأعداد غير المنطقية
هذه الأمثلة هي من بين أشهر الأرقام غير المنطقية:
- الرقم النيبري هو e ، حيث أن الرقم النيبري هو كسر عشري ، لكنه ليس منتهيًا ، وتمثل هذه الأرقام المنازل العشرية الأولى منه ، وهي 2.718281828459045235360287471352
- الرقم pi ، لأنه كسر عشري ، ولكنه ليس محددًا ، وهذه هي أرقام الخانات العشرية الأولى فيه 3.1415926535897932384626433832795.
- بعض الجذور التربيعية والجذور التكعيبية ، حيث تكون بعض الكسور الناتجة عن الجذور عبارة عن كسور عشرية لا نهائية ، على سبيل المثال ، الجذر التربيعي للرقم 3 الذي يساوي …. 1.7320508075688772935274463415059.
- أو الجذر التربيعي لـ 99 ، والذي يساوي… .9.9498743710661995473447982100121.
- ومع ذلك ، ليست كل الجذور التربيعية والتكعيبية أرقامًا غير منطقية ، ويمكن توضيح ذلك في مثال الجذر التربيعي للرقم 16 ، والذي يساوي 4 وهو عدد نسبي.
- أو عند ضرب جذرين لعددين غير نسبيين ، مثل ضرب جذر 3 في جذب 3 ، تكون النتيجة 3 ، وهو عدد نسبي.
العمليات الحسابية الأعداد النسبية
الرقم النسبي هو رقم مثل أي رقم يمكنه إجراء عمليات حسابية مثل الضرب والقسمة والجمع والطرح عليه:
- الجمع: يمكن جمع الأعداد الكبيرة معًا ، ولكن بشرط واحد ، وهو أن المقامات متساوية ، فيتم إضافة البسط مع البسط أثناء تثبيت قيمة المقام.
- الطرح: يمكننا إجراء عملية الطرح بنفس طريقة الجمع ، حيث لا يمكن طرح العددين اللذين يتم طرحهما من بعضهما البعض إلا إذا كانت مقاماتهما متساوية ، لذلك نطرح البسطين من بعضهما البعض ونخرج نفسهما المقام – صفة مشتركة – حالة.
- الضرب: نقوم بعملية الضرب بضرب البسط في البسط والمقام في المقام ، ووضع حاصل ضرب البسط في بسط حاصل الضرب وحاصل ضرب المقام في بسط المقام.
- القسمة: في عملية القسمة علينا أن نصلح الكسر الأول كما هو ونقلب الكسر الثاني حتى يصبح المقام هو البسط والبسط هو المقام ، ونحول علامة القسمة إلى عملية ضرب ونفعل ذلك. عملية ضرب عادية ، بضرب البسط في البسط والمقام في المقام.
خصائص الأعداد المنطقية
خصائص الأعداد المنطقية هي كما يلي:
- عندما نضرب عددًا صحيحًا لا يساوي صفرًا في الرقم المنطقي ، تظل قيمة الرقم المنطقي كما هي ولا تتغير قيمته ، لأن هذا الضرب ليس سوى مضاعف لأرقام البسط والمقام بنفس النسبة ، على سبيل المثال ، إذا ضربنا 2/4 في 2 ، فستكون النتيجة 4/8 وإذا قمنا بالتبسيط لأقرب صورة نحصل على 2/4.
- إذا قسمنا الرقم المنطقي على عدد صحيح في الشكل والمقام بشرط أنه لا يساوي الصفر ، فإن قيمة الرقم النسبي لا تتغير ولا يؤثر هذا القسمة على المنتج ، على سبيل المثال ، قسمة 6 على z / 30 في 3 النتيجة هي 3/16 وهو رقم نسبي لكن تم تبسيط صورته.
- إذا طرحنا أو أضفنا رقمين منطقيين ، فيجب أن تكون النتيجة عددًا نسبيًا ولا يمكن أن تكون غير ذلك.
- إذا ضربنا أو أضفنا أي رقمين كسريين لهما نفس المقام ، فيجب أن تكون النتيجة هي نفس المقام والبسط هو جمعهما أو طرحهما.
- إذا ضربنا عددين كسريين في حاصل الضرب ، فإن حاصل ضرب الوسيلتين هو حاصل ضرب المقام.
- إذا قمنا بجذر تربيعي ، فستكون النتيجة دائمًا عددًا نسبيًا والعدد الموجب داخل الجذر.
- قد يكون حاصل ضرب عددين غير نسبيين ، مثل جذر ، عددًا نسبيًا ، مثل جذر 3 وجذر 4 ، وبالتالي تكون النتيجة 12 ، وهو عدد نسبي.
- يسمى الرقم المنطقي بالصيغة القياسية للرقم المنطقي إذا كان لا يمكن اختزاله أكثر من ذلك ، أي أن العامل الوحيد المتضمن بين البسط والمقام هو الرقم الصحيح واحد.
- لا يمكن أن تؤدي عملية إضافة أو طرح الأرقام غير النسبية إلى أرقام منطقية ما لم يكن الرقمان المنطقيان متساويين ، ولكن بعلامة مختلفة ، مما ينتج عنه رقم منطقي وهو صفر ، وتسمى العلاقة بين هذين الرقمين العلاقة العكسية المضافة.
في نهاية رحلتنا مع ما هي الأرقام النسبية في الرياضيات؟ يقسم علماء الرياضيات الأعداد وفقًا لخصائصهم ، مما ينتج عنه مجموعات مختلفة ، بما في ذلك مجموعة الأرقام المنطقية.